中文大學校刊 一九八零年秋‧冬

年，數學和其他科 一般來說，純粹數學家沒有什麼實用 念，只是從純美學的觀點去硏究。不過 來也有純粹數學家願意去做一 點 理論物理 的。因爲其中出現的數學問題實在不少。至 於應用數學家，他們專門研究其他科學如工 程學、電子計算 上的問題。不過，這些問題 也有包含很深入的數學理論的。由此可見， 純粹數學家和應用數 家之間的界限，有時 也很難嚴格地加以劃分。 問：您曾經多次提到美麗、美學的觀念，究竟 在數學上甚麼才是「美」？ 答：數學家所受的第一項重要訓練就是評價甚 麼是簡單，甚麼是美。數學是科學也 文學， 數學上的美跟文學上的美一樣，都是很難下 定義的。一般來說，如果定理本身非常簡單， 但卻包含着深奧的意思，那麼 ， 我們就認爲 這 是 「 美 」 。 舉一個物理上的例來說，牛頓硏究萬有引 力，發明了平方反比定律，即兩個球體的距 離爲R,則二者的相互吸力與R -2 成正比。這 是很簡單的定律，但後來天文學上很多軌跡 的計算，都可以從這裡推出來。這樣簡單的 一個定律，竟然可以推到許多繁複而有意思 的理論，這就是我們數學上所說的「美」。 問：照這樣說，「 要素，而「美」，同時也牽 上了，是不是？ 答：簡單是很重要的。至於應用的 題，我們 可以這樣看:我們硏究一個問題 這個問題 已經有很多人研究過，但都未能解决，就像 河中的一座小山，如果我們把問題解决了， 就等於「剗卻君山好，平鋪湘水流」。一眼 望過去可以見到整條河，於是以前未能了解 或不能解决的許多難題，也因此而得到深入 的了解和圓滿的解决了，這個問題的解决對 數學的整個源流 發展都有很大的影響，這 樣我們就會覺得它很「美」。 此外，還有一 點 可以補充的，我們做硏究 並不是從實用觀點出發的，而且也不理會它 在現實世界有何種地位。但是很奇怪，幾千 年來，我們根據數學邏輯推理演算 來，認 爲合理和漂亮的定律，往往都會在眞實世界 出現；大槪我們腦海裡面認爲美的東西其實 跟現實世界中的現象是很接近的。這一 點 ， 我們也沒有辦法解釋。 又舉一個例來說明，大家都知道一度空間 是直綫，二度空間是平面，三度空間是空間。 空間超過三度，一般人都認爲 不會在現實 世界中出現的，但 數學家很早就開始硏究 高度空間或高維空間，後來發現高度空間和 現實世界很接近， 用它的觀念來解决問題。所 解决問題是息息相關的。 問：那麼，「簡單」的定義又是什麼？ 答:隨着時代環境的變遷 ， 隨着我們對事物理 解的增長，「簡單」(英文是simple，也可 譯作「簡純」)的標準也在改變。二千年前， 人們能夠了解的東西其實很少，範圍非常狹 窄，現在我們從電視和其他現代科技中已經 吸收了很多不同的槪念 ， 對事物的了解程度 已經相當高級的了。由此可見，二十世紀以 前的「簡單」跟現在的「簡單」就不見得有 同樣的標準。 至於我剛才所說的 ， 數學家一定要學習去 評價什麼是簡單，這一類訓練大槪都是在讀 研究院的時候開始的。 問：數學家在解决問題、證明定理的時候，是 不是一定要非常嚴格的？ 答：十九世紀末葉，數學家發現 理論的證 明不夠嚴格，於是很多出名的數學家紛紛提 倡數學嚴格化。「嚴格性」的觀念由希爾伯 特 ( D a v i d Hilbert)(一八六二—一九四三) 的倡導而普及於一般學者。 13