中文大學校刊 一九八零年秋‧冬

要求數學嚴格化 說好的，因爲在證明數學 格化，數學家就可以有絕對的自 條定理一經證明，就是證明了，不會再有 何懷疑的餘地。壞的影響是數學更加抽象 化。 問：是不是有一些純粹數學家批評應用數學家 或其他科學家解决問題的方法不夠嚴格？ 答：是的，某些純粹數學家甚至批評很出名的 應用數學家「從來都沒有證明過一條定理」， 即謂他們做的方法全部都不夠嚴格。 實， 應用數學家有時面對大難題，但卻一定要解 决，於是就 一些不嚴格的理論去做 這似 乎是沒有辦法中之辦法。 至於其他的科學，也經常有這種現象。例 如物理學家、工程學家有一些方程式沒有辦 法解决，就用電子計算機，計算到了相當程 度之後就算對了，但是要證明對還是不對， 其實須要達到比這一個計算程序更深入的程 度才能决定，可是他們都願意接受，然後繼 續前進，研究下一個問題。這對講求嚴格性 的數學家來說，是沒法子接受的，但是站在 應用的立塲，他們唯有這樣才不致在某個階 段中停留太久，可以更快速的向前發展。 問：如果後來證明是錯的，那怎麼辦？ 答：雖然有時候 然有辦法向前發展，但是 不能做下去的。不過，數學家通常 些問題發生興趣，所以一般來說，錯誤不會 積聚得太多就會被發現，及時得到糾正。 由此可見，數學家和其他的科學家是可以 互補不足、互相幫忙的。他們的缺點是不夠 嚴格，而我們習慣了抽象的思維方法之後， 也有自己的缺 點 ，例如我們在許多實際問題 上，有時反而沒有那麼活躍。此外，數學家 可能一味講求嚴格，但證明出來的定理卻是 全無意義的。 問：您解决了卡拉比猜想，這是不是數學上的 一個大突破？ 答：是否突破，則視乎各人的觀 點 而定。從幾 何學的觀點來看，它也算得上是一個可以簡 單地說明的定理，只要是學過曲率這個槪念 的學生，就可以了解卡拉比猜想是甚麼？ 另一方面，微分幾何學硏究的主要對象是 幾何圖形、曲率轉變的形狀等。我研究卡拉 比猜想的時候，知道解决了這個猜想就能夠 對曲率問題有很大的了解。結果，卡拉比 想的解决，不單止對微分幾何本身，甚至對 代數幾何等其他方面，以至相對論也有很大 的幫助，因而解决了許多以前沒有辦法解决 的問題。所以， 面也很有價値。 問：您的另一項成就，是解决了正質量猜 據說這跟黑洞是有一 點 關係的。 答：是有一 點 關係的，它說明了黑洞雖然奇 異，但是很多物理上的基本現象還是要維持 的。這個觀念要從廣義相對論來解釋。 事實上，廣義相對論跟微分幾何學不斷的 在互相影響。愛因斯坦最初是根據數學的槪 念來發展廣義 對論的，所謂時空就 從幾 何學的觀 點 看，曲率本身代表引力。一九 一五年之後，廣義相對論又反過來影響微分 幾何學，幾何方面對曲率空間的研究，全部 都跟廣義相對論有密切關係。大槪二十年 前，幾個英國科學家用微分 學的觀念推 導出黑洞存在的理論，這件事又大大的刺激 了物理學家用微分幾何學的方法來對廣義相 對論重作研究。我跟一個學生一起硏究正質 量猜想，主要就是因爲近年來我們又發現了 廣義相對論有許多很久未能解决的問題，其 實可以用微分幾何的舊方法來解决的。 問：您們要解决的很多時候都是懸疑問題，同 時會有其他的人在研究，究竟解决問題的主 要關鍵在那裡？ 14