中文大學校刊 一九九八年春‧夏

研究介紹 數 值 分 析 與 科 學 計 算 「數值分析」的研究對象是有關計算的數 學理論，「科學計算」則是指結合數值分析和 計算機技術去解決實際問題。隨著算法設計 及計算機功能的長足進展，科學計算已繼理 論論證和實驗驗證成為科技研究的第三種途 徑，且應用廣泛：包括設計飛機，預報天氣 和計算期權價目等。 現代數值分析以矩陣求逆開始 五十年前，John von Neumann在他的論 文「關於高階矩陣的數值求逆」（註一）中，論 證他製造的計算機能夠計算當時還無法計算 的大型矩陣的逆，從此開創了數值分析的新 紀元。矩陣是一種數學工具，可用以表示物 理或經濟現象中作用與反作用的關係，而 「求逆」意指從已知的反作用找出作用本身。 通過矩陣求逆，可以較準確地描述或預測相 應現象的本質。 快速求逆算法的角色 但矩陣求逆並非易事。如果作用與反作 用由n個變量所決定（n稱為矩陣的階），則矩 陣求逆大約需要n 3 次加減乘除運算，簡稱n 3 次 運算。在這個錯綜複雜的世界裡，由超過一 萬個變量所描述的系統並不罕見，所以求逆 的計算量隨時會超過一萬億次運算，這需要 用世界上最快的計算機運算一秒，或用一台 Pentium PC計算機運算半天。幸虧不是所有的 矩陣都需要這樣求逆，數學家往往靠分析特 定矩陣的結構，去設計相應的快速算法。 舉例説，求算式2x3+2x8+2x7+2x5，要 運算七次。但利用小學課程中的運算知識， 即可把算式改寫成2x(3+8+7+5)，只需運算 四次，速度提高了百分之七十五。如果靠改 進計算機的處理器去達到同樣的速度，至少 要花一年的時間去研究和發展。 T o e p l i t z矩陣的應用 本校數學系陳漢夫敎授專研Toeplitz矩 陣的快速求逆算法，並多次獲研究資助局撥 款，開展有關研究。所謂Toeplitz矩陣，是 指對角線上的元素都相同的矩陣，它可應用 於求解偏微分方程、積分方程、排隊網絡理 論、時間序列分析、控制理論，更廣泛應用 於訊號與圖像處理。一九八六年，美國麻省 理工學院Gilbert Strang敎授首次提出Toeplitz 矩陣最快速的求逆算法：一個n階的Toeplitz 矩陣的求逆計算量僅為n log n次運算。一九 八九年，陳敎授與Strang敎授發表合作研究成 果，首次在數學上嚴格證明了該算法適用於 一大類的Toeplitz矩陣。其後，陳敎授成功 地運用該算法及其改進算法，解決上面提到 的許多工程與數學問題，其中一個重要應用 範圍是地面天文觀察，是陳敎授與美國 Wake Forest 大學 Robert Plemmons敎授合作 研究的成果。 地 面 天 文 觀 察 的 干 擾 自從有了望遠鏡，閃爍的星星和大氣層 的折射就一直困擾著天文學家。發明擺鐘的 Christian Huygens在十七世紀首先發覺即使 用最精密的望遠鏡觀察天體，圖像都是抖動 註一:　美國數學學會通報，一九四七年十一月 透過截學望遠鏡觀察星空 29