資訊處   19.10.2011

385

 
《中大通訊》第385期 > 洞明集 > 美麗有序

美麗有序

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相信不少讀者還會記得《有你終生美麗》(A Beautiful Mind)這齣有關一位傳奇數學家的電影,在影片的開始,男主角在陽光下以手中的玻璃杯折射出一些圖案,恰巧重疊到他同學領帶的花紋上,然後男主角淡淡的說出一句:「你的領帶那麼差勁,是可以用數學來解釋的。」


這句話也許只是電影製作人的無心插柳,但中大數學系的魏軍城教授會告訴你,數學藏身於大自然的各種現象,尋找物理、生命,甚至金融學等等的奧秘,數學都用得上。上述電影情節提及的光線折射,便可以由麥斯威爾方程(Maxwell Equations)來描述;自然界中花鹿和野豹的斑點,又或是小丑魚和斑馬的斑紋,則可以由一個描述「反應擴散系統」(Reaction-DiffusionSystem)的偏微分方程組來概括。這些方程由於需要表達某種變量隨時間及空間變化的關係,故需要以微分這個數學算子來表達,於是就有偏微分方程的概念。


以動物為例,其身上的點紋與斑紋,其實是一種色素的分子,在另一種色素的介質之間分布或累積、相互作用的結果。「反應擴散方程」可以描述兩種正在產生相互作用的介質,在不同的比例之下,其中一個介質是如何於另一個介質之間分布及累積,所以能用來解釋動物身上漂亮有致的點紋,甚至是人類體膚上濃淡不一,又會不時移位的墨痣。


在兩種分量比例較均衡的介質之間,反應擴散方程組的數學解釋給出的圖案恰好是斑紋,在分量比例較極端時則會是點紋,所以斑與點都可以用一對「反應擴散方程」來解釋。說明白一點,小丑魚身上橙黃色與黑色的色素,正是因為比例較均衡,所以表現出斑紋的分布形式;倘若是橙色極多而黑色極少的話,方程告訴我們黑色素會以點紋方式聚集,小丑魚身上便會出現豹紋了。然而簡單的方程只能解釋較簡單的自然現象,愈是繁瑣的現象背後,其微分方程就愈見複雜,要發掘及了解內裏的數學結構也就愈是困難。


魏軍城教授過去一直致力研究偏微分方程,尤其是非線性橢圓方程及方程組凝聚現象,並取得國際公認的成績。純數學中一個著名的猜想是1978年由意大利數學家Ennio de Giorgi提出的de Giorgi猜想,一直以來吸引了全球數學家的關注,是非線性方程中最重要的問題。在2006年之前的研究,證實該猜想適用於八維空間或以下,因此學界認為該猜想在所有的維數皆是站得住腳的。然而,魏教授與他的研究夥伴,以創新的數學方法,找到了九維以上的一個反例,證明de Giorgi的猜想在九維或以上不能成立,破解了這個數學謎團。


魏教授這個研究成果,也令他克服了求解複雜「反應擴散方程」的困難。他發現隨着方程中的擴散系數增加,點紋會開始不穩定,一分為二,甚至會變出更複雜的花紋圖案。自然界看似紛亂隨機的現象,其實都可以透過人類智慧歸納出條理分明的秩序來。


數學研究除了讓我們看透單一現象,也顯示了數學的普遍性及結構美。「反應擴散方程」不只為研究動物的斑點服務,在了解超導體的物理結構,了解傳染病的蔓延,乃至細胞尋找營養方面都有貢獻。也因為如此,在這數學領域開拓研究,了解微分方程的數學結構,其意義可以超越數學問題本身,延伸至它所支配的各個知識領域。這也是令魏教授等數學家着迷的地方。

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